Rangkuman Statistika (Analisis)

PENDAHULUAN

Beberapa Pengertian :

¨ Data adalah informasi yang memberikan gambaran mengenai suatu keadaan. Contoh : data mengenai penduduk.

¨ Variabel adalah karakter spesifik yang menjelaskan data bersangkutan. Contoh : umur mahasiswa.

¨ Variabel acak adalah suatu variabel yang memetakan suatu kejadian menjadi nilai numerik. Contoh : pelemparan koin yang memungkinkan munculnya dua sisi yang berbeda.

¨ Variabel diskret adalah variabel yang tidak memungkinkan adanya bilangan pecahan dan merupakan hasil dari pencatatan. Contoh : tidak mungkin jumlah mahasiswa sebanyak 20,5 orang.

¨ Variabel kontinu adalah variabel yang memungkinkan adanya bilangan pecahan dan merupakan hasil dari pengukuran. Contoh : mungkin saja tinggi badan seseorang adalah 165,7cm.

Klasifikasi data atau variabel menurut Steven

·   Data interval adalah variabel yang mempunya sifat nominal dan ordinal dan juga dicirikan oleh perbedaan nulai yang sama pada setiap selisih variabel interval. Contoh : suhu pada temperatur 50^oC lebih panas daripada 10^oC.

·   Data nominal adalah variabel yang dapat mengklasifikasi sesuatu objek menjadi kategori – kategori atau klasifikasi, merupakan suatu bentuk kode, skala atau label dan hanya digunakan untuk mewakili satu kategori. Contoh : kode 1 menunjukkan laki – laki, dan kode 2 menunjukkan perempuan.

·   Data ordinal adalah variabel yang dapat mengklasifikasi serta mencerminkan peringkat. Contoh : label 1 untuk tidak suka, label 2 untuk suka, dan label 3 untuk sangat suka.

·   Data ratio adalah variabel yang mempunyai sifat – sifat nominal, ordinal, dan interval dan nilai origin (yaitu 0). Contoh : tinggi (karena dapat diklasifikasi dengan tiga data diatas).

SAMPEL

Beberapa Pengertian :

¨ Populasi adalah suatu kumpulan orang, benda, atau lainnya yang merupakan fokus perhatian dari penelitian. Contoh : seluruh penduduk Indonesia pada tahun tertentu.

¨ Populasi terbatas adalah populasi dengan jumlah terbatas. Contoh : banyaknya mahasiswa di Universitas A.

¨ Populasi tidak terbatas adalah populasi yang dihubungkan dengan proses produksi. Contoh : proses menghasilkan pakaian oleh sebuah konveksi.

¨ Parameter (s atau simpangan baku, dan s² atau varian) adalah karakteristik dari populasi yang menunjukkan karakter dari populasi. Contoh : rata – rata IP seluruh mahasiswa FE menunjukkan karakter dari mahasiswa FE tsb.

¨ Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil sebagai contoh dari populasi yang bersangkutan.

¨ Statistik (s atau simpangan baku, dan s² atau varian sampel) adalah karakteristik dari sampel. Contoh : rata – rata IP mahasiswa FE yang diambil sebagai sampel.

¨ Sensus adalah kegiatan penelitian yang menggunakan seluruh populasi sebagai objek penelitian.

¨ Survei adalah kegiatan penelitian yang menggunakan sampel sebagai objek penelitian.

Penarikan sampel dengan dan tanpa pengembalian :

1.       Dengan pengembalian : penarikan sampel dimana sampel yang sudah terpilih sebelumnya dimungkinkan untuk terpilih lagi, dan populasi dianggap tidak terbatas.

2.       Tanpa pengembalian : penarikan sampel dimana sampel yang sudah terpilih sebelumnya tidak dimungkinkan untuk terpilih lagi, dan populasi dianggap terbatas.

Alasan – alasan menggunakan sampel

1.       Biaya yang lebih murah

2.       Akurasi lebih terjamin

3.       Tepat waktu

4.       Jumlah informasi yang dicakup dapat relatif banyak karena jumlah sampel kecil

5.       Tes rusak. Contoh tidak mungkin melakukan tes dampak benturan mobil bila semua mobil harus diuji coba.

Metode penarikan sampel : penarikan sampel dengan peluang, dan penarikan sampel tidak dengan peluang.

Cara – cara penarikan sampel dengan peluang :

1.       Kluster : populasi diklasifikasikan menurut kluster dan kemudian sampel diambil dari kluster tsb.Contoh : populasi penduduk diIndonesia dikelompokkan menurut kabupatennya, dilakukan penarikan sampel dari masing – masing kabupaten, lalu penarikan sampel rumahtangga pada masing – masing kabupaten terpilih dengan metode penarikan sampel acak sederhana.

2.       Sederhana : menganggap setiap anggota populasi mempunyai peluang yang sama untuk terpilih sebagai sampel. Contoh : dari 20 orang akan dipilih 5 orang untuk dijadikan tester dengan menggunakan kocokan arisan, atau dengan menggunakan buku tabel acak.

3.       Sistematik : dengan menetapkan banyaknya sampel sebanyak n dengan memilih sampel dengan menggunakan interval yang sama dengan N (jumlah populasi), dan n (banyaknya sampel). Contoh : dari 20 orang akan dipilih 5 orang untuk dijadikan tester dengan menggunakan buku tabel acak (memilih satu nomer acak), yang sampel selanjutkan dipilih dengan menggunakan rumus k =  atau k =

4.       Strata : melakukan strata terlebih dahulu terhadap populasi agar sampel benar2 mewakili populasi. Contoh : pertama populasi distratakan (misal menurut jumlah pendapatan), melakukan penarikan sampel, lalu penarikan sampel dari masing – masing strata.

Cara – cara penarikan sampel tanpa peluang : penarikan smapel dimana kemungkinan terpilihnya sampel dari populasi dilakukan secara bebas tidak didasarkan pada peluang atau probabilitas masing – masing unit tsb.

1.       Bergulir : memilih sampel sesuai dengan saran dari responden sebelumnya.

2.       Kemudahan : didasarkan pada pertimbangan kemudahan pewawancara. Contoh : pemilihan lokasi pusat belanja.

3.       Kuota : menetapkan sejumlah kuota responden yang akan diwawancarai.

4.       Perkiraan : hampir sama seperti cara kemudahan, namun cara perkiraan memilih sampel karena dianggap representatif dari populasi.

Cara – cara menentukan ukuran sampel :

A.       Pendekatan Ad – hoc : didasarkan pada pengalaman mengenai penyelenggaran penelitian atau kendala  biaya.

a.        Pendekatan arbitrari : banyaknya sampel secara kira – kira secara ilmiah tidak logis.

b.       Pendekatan biaya : penentuan banyaknya sampel berpengaruh pada biaya yang akan dikeluarkan.

c.        Pendekatan konvensi : banyaknya sampel secara kira – kira berdasarkan pengalaman thdp banyaknya sampel.

B.       Pendekatan Statistik : didasarkan pada ilmu statistik mengenai variabilitas, kesalah baku atau deviasi standar terhadap mean, distribusi sampling, atau selang kepercayaan.

DISTRIBUSI SAMPEL

Adalah distribusi probabilitas yang dihasilkan oleh setiap kemungkinan sampel yang karakteristiknya berbeda – beda.

Contoh : Dari 5 karyawan akan dipilih 3 orang sebagai sampel, maka kombinasi karyawan yang akan terpilih adalah

                ABC        ABD        ABE         ACD        ACE         ADE        BCD        BCE         BDE         CDE

                Atau ⁵C₃ =  = 10 (kemungkinan kombinasi)

Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan suatu distribusi yang berbentuk lonceng yang tergantung kepada dua nilai parameternya yaitu rata – rata (µ) dan deviasi standar (s).

Ciri – ciri :

-         Memiliki satu puncak (unimodal)

-         Bersifat simetris dimana mean = median = modus

-         Rata – rata terdapat tepat pada tengah kurva

-         Bersifat asimtot terhadap sumbu mendatar

-         Mempunyai rata – rata (mean) = µ, dan varian (s)²

Distribusi Normal Baku

Distribusi normal baku merupakan perluasan dari distribusi normal, yaitu jika variabel X ditransformasi menjadi Z atau simpangan baku atau Z = , sehingga rata – rata = 0, dan deviasi standar = 1.

Contoh :

1)       Diketahui nilai variabel acak yang diperoleh dari suatu penelitian adalah X = 55, µ atau rata – rata = 50, dan deviasi standar atau s = 25, maka nilai simpangan baku atau Z =  = 0,2  dan probabilitas kejadian p(0<Z<0,2) = 0,0793

2)       Hasil ujian statistik mahasiswa sbb : mean = 6,7, deviasi standar = 1,2, nilai terendah 0, dan tertinggi 100. Bila menggunakan distribusi normal, berapa persen mahasiswa yang memperoleh nilai 6?

Soal diatas merupakan data diskret, agar menjadi data kontinu maka nilai 6 dianggap berada diantara 5,5 dan 6,5, maka :

è  Untuk X = 5,5 adalah  = -1,0 maka nilai simpangan baku = 0,3413

è  Untuk X = 6,5 adalah  = -0,17 maka nilai simpangan baku = 0,2738

è  0,3413 – 0,2738 = 0,2738. Artinya kira – kira mahasiswa yang memperoleh nilai 6 sebesar 27,38%

Distribusi Student ‘t’

Contoh : tentukan nilai distribusi student dari suatu sampel n = 15 dengan menetapkan tingkat kepercayaan a = 5%.

                Db = (15 – 1) = 14

                a = 5% / 2 = 2,5%

                T_{2,5%, db=14} = 1,761

PENDUGAAN STATISTIK

A.       Best Linear Unbiased Estimator (BLUE)

Contoh : bila 5 sampel baut hasil produksi suatu perusahaan mempunyai diameter sbb (dalam meter) : 6,33 ; 6,37 ; 6,36 ; 6,32 ; dan 6,37, maka duga rata – rata dan varian diameter kelima baut tsb!

Rata – rata =  = 6,35 m

Varian = (6,33 – 6,35)² + (6,37 – 6,35)² + (6,36 – 6,35)² + (6,32 – 6,35)² + (6,37 – 6,35)² / (5-1) = 0,00055 mm²

B.       Pendugaan Titik

Contoh : dari suatu populasi sapi di suatu perusahaan peternakan, 10 ekor sapi dipilih secara acak. Ke sepuluh ekor sapi tersebut kemudian diberi pakan yang baik secara teratur. Setelah beberapa lama, berat kesepuluh sapi tersebut adalah sbb (dalam kg) : 45, 109, 61, 80, 79, 93, 48, 35, 57, dan 63. Berapa rata – rata berat, deviasi standar sampel, dan dugalah rata – rata berat dan deviasi standar seluruh sapi (populasi)!

Rata – rata =  = 67 kg

Deviasi standar sampel = (45–67)²+(109–67)²+(61–67)²+(80–67)²+(79–67)²+(93–67)²+(48–67)²+(35-67)²+(57-67)²+

                      (63+67)²/(10-1) =  530,4 kg

Varian = 23,0 kg

Deviasi standar populasi =  =  =  =  = 7,28 kg

PENGUJIAN HIPOTESA

Tahap – tahap pengujian hipotesa :

1.       Menentukan hipotesis nol dan alternatif

µ untuk kasus rata – rata    : pada soal tertulis kata rata – rata(=), dan rata – rata tidak sampai (≠)

p untuk kasus proporsi       : pada soal tertulis kata kurang dari (<), sekitar, lebih dari

Apabila nilai data dibawah dari nilai yang diperkirakan maka H_A < x

Apabila digunakan perbandingan (produk A dan produk B) maka H_A > x

2.       Menentukan satu arah atau dua arah

Apabila H_A > atau < maka satu arah

Apabila H_A ≠ maka dua arah

3.       Menentukan tingkat keyakinan a

Tingkat keyakinan bahwa 99% hipotesis yang benar akan diterima, dan 1% akan ditolak

4.       Menentukan bentuk uji statistik berdasarkan bentuk distribusi samplingnya

5.       Kesalahan Tipe I atau Tipe II

Kesalahan menolak hipotesis yang benar adalah kesalahan tipe I atau type I error

Kesalahan menerima hipotesis yang salah adalah kesalahan tipe II atau kesalahan

6.       Menghitung nilai uji statistik

A.       Uji hipotesis rata – rata           :

B.       Uji hipotesis dua rata – rata    :

C.       Uji hipotesis proporsi               :

D.      Uji hipotesis dua proporsi       :

7.       Membandingkan nilai uji statistik dengan nilai batas daerah kritis

Daerah kritis adalah suatu daerah dimana suatu hipotesis akan ditolak bila nilai statistik berada didaerah ini.

8.       Menentukan distribusi sampel yang digunakan

n > 30 maka menggunakan distribusi normal

n < 30 maka menggunakan distribusi student

Standar Error atau varian dari rata – rata dan proporsi

1.       Populasi tidak terbatas

a.        Varian dari rata – rata

b.       Varian dua rata – rata

c.        Varian dari proporsi

d.       Varian dari dua proporsi

2.       Populasi terbatas

a.        Varian dari rata – rata

b.       Varian dua rata – rata

c.        Varian dari proporsi

d.       Varian dari dua proporsi

Contoh soal hipotesis :

A.       Suatu perusahaan menghasilkan pelat baja. Standarisasi pelat baja adalah panjang pelat baja 80cm dengan toleransi deviasi standar 7cm. Perusahaan ingin menguji apakah produksi pelat baja yang dihasilkan sekarang masih mengikuti standarisasi perusahaan. Maka diambil sampel 100 pelat baja dan kemudian diukur, ternyata rata – rata panjang pelat baja adalah 83cm. Apakah panjang pelat baja yang dihasilkan sekarang masih dianggap mengikuti standarisasi perusahaan? (petunjuk : populasi dianggap tidak terbatas)

a.        H₀ : µ = 83 cm dan H_A : µ ≠ 83cm (satu rata – rata)

b.       a = 5%

c.        Uji statistik : Zobservasi =  = 4,2857

d.       Daerah kritis : Ztabel =  = Z2,5% = 1,96 dan -1,96

*±1,96 didapat dari tabel luas areal dibawah kurva normal dengan a = 5%

e.        Karena Zobservasi > Ztabel, maka tolak H₀. Artinya panjang pelat baja berbeda secara signifikan dari 80cm, atau panjang pelat baja memang sudah melebihi dari standar yang ditetapkan yaitu 80cm.

B.       Seorang manajer perusahaan ingin membuktikan bahwa proporsi rumah tangga yang menggunakan bumbu masak ‘A’ yang dihasilkan perusahaan tsb kurang dari 50%. Untuk membuktikan hal tersebut, sampel sebanyak 100 rumah tangga diambil, ternyata 36 rumah tangga menggunakan bumbu masak tsb. Uji hipotesis tsb dengan menggunakan a = 10%? (petunjuk : populasi adalah tidak terhingga)

a.        Ho : p = 50% = 0,50 dan Ho : p < 50% = 0,50 (satu proporsi)

b.       a = 10%

c.        Uji statistik : Zobservasi =  = -2,8

d.       Daerah kritis : Ztabel = Z10% = -1,28

e.        Karna Zobservasi < Ztabel, maka tolah H₀. Artinya : proporsi rumahtangga yang menggunakan bumbu masak “A” kurang dari 50%.

C.       Hasil penelitian mengenai keragaman harga beras yang dilakukan dengan mengamati 25 pasar di kota A adalah Rp 500/kg, sedangkan dengan mengamati 36 pasar di kota B adalah Rp 400/kg. Apakah keragaman harga beras di kota A lebih besar dibandingkan di kota B dengan menggunakan tingkat kepercayaan 95%?

a.        H₀ : s_A² = s_B² dan H_A : s_A² > s_B²

b.       a = 5%

c.        Uji statistik : Zobservasi = S₁² / S₂² = 500² / 400² = 1,5625

d.       Daerah kritis : Ztabel;, db_{(25 – 1),(35 – 1)}

e.        Terima H₀ karena Fobservasi < Ftabel atau dengan kata lain keragaman harga beras di kota A sama dengan di kota B .

UJI SIGNIFIKANSI KHI – KUADRAT

Probabilita yang muncul adalah 50:50. Contoh : dalam pelemparan koin sebanyak 100 kali maka

                H₀ = koin seimbang                             atau                        H₀ = P_head = P_tail = ½

                H_A = koin tidak seimbang                   atau                        H_A = P_head = P_tail ; P_head > P_tail ; P_head < P_tail

Ciri – ciri distribusi khi – kuadrat :

a.        Distribusi c² menceng ke kanan

b.       Nilai variabel bebas adalah 0 s/d ¥

c.        Mempunyai satu parameter yaitu derajat bebas

d.       Mean adalah db (d), semakin besar maka distribusi c²

semakin bergerak ke kanan & kemencengan semakin kecil

e.        Area dibawah kurva menunjukkan probabilitas

Contoh Soal :

A.       Jika satu dadu dilambungkan 120 kali, hasil yang diperoleh adalah sbb :

Mata 1 muncul 25 kali, mata 2 muncul 17 kali, mata 3 muncul 15 kali, mata 4 muncul 23 kali, mata 5 muncul 24 kali, mata 6 muncul 16 kali. Jumlah 120 kali. Uji apakah dadu tersebut seimbang?

Kejadian	Mata 1	Mata 2	Mata 3	Mata 4	Mata 5	Mata 6
Hasil Observasi	25	17	15	23	24	16
Harapan	20	20	20	20	20	20

*120 : 6 = 20 (harapan)

1)       H₀ = mata dadu seimbang dan H_A = mata dadu tidak seimbang

2)       a = 5%

3)       Uji statistik :

c² observasi = (25 – 20)²+(17 – 20)²+(15 – 20)²+(23 – 20)²+(24 – 20)²+(16 – 20)² = 5,00

                                 20               20               20               20                 20               20

Derajat bebas db = ( h – 1)(k – 1) = (2 – 1)(6 – 1) = 5

4)       Daerah kritis c²tabel _(a=5%;db=5) = 11,070

5)       Kesimpulan : Terima H₀ karena c² observasi < c² tabel ; artinya mata dadu seimbang

B.       Suatu pupuk sedang diuji coba untuk mengetahui manfaatnya terhadap peningkatan produksi padi. Untuk itu suatu percobaan dilakukan. Suatu kumpulan 100 petak sawah (kelompok A) diberikan pupuk sedangkan 100 petak sawah (kelompok B) tidak diberikan pupuk. Hasilnya adalah : pada kelompok A, 75 petak sawah melebihi target produksi, 25 sawah tidak melebihi target produksi ; pada kelompok B, 65 petak sawah melebihi target produksi, 35 petak sawah tidak melebihi target produksi. Uji apakah pupuk tsb memang mampu meningkatkan produksi padi jika yang disebut sebagai berhasil meningkatkan produksi adalah bila 70% dari petak sawah melebihi target produksi?

Kelompok	Berhasil	Tidak Berhasil	Berhasil (dari 70%)	Tidak berhasil
A	75	25	70	30
B	65	35	70	30

1)       H₀ = pupuk tidak mampu meningkatkan produksi dan H_A = pupuk mampu meningkatkan produksi

2)       a = 5%

3)       c² observasi = (75 – 70)²+(25 – 30)²+(65 – 70)²+(35 – 30)² = 2,38    ; db = (2 – 1)(2 – 1) = 1

70          30                       70               30

4)       Daerah kritis c²tabel _(a=5%;db=1) = 3,841

5)       Kesimpulan : Terima H₀ karena c² observasi < c² tabel ; artinya pupuk mampu meningkatkan produksi

ANALISIS VARIAN

Anova digunakan untuk melakukan pengujian dua atau lebih percobaan.

Contoh :

A.       Perusahaan A mempunyai dua cabang, yaitu di kota A dan di kota B. Rata – rata keuntungan yang diperoleh oleh kedua cabang tsb selama 5 periode disajikan oleh tabel dibawah. Uji apakah rata – rata keuntungan yang dihasilkan oleh kedua cabang tsb sama atau berbeda secara signifikan dengan menggunakan tingkat kepercayaan 95%?

Periode (Pengulangan)	Keuntungan cabang A (%)	Keuntungan cabang B (%)
1	9,14	9,69
2	8,85	8,94
3	9,52	8,85
4	10,16	9,45
5	8,90	9,15
Total	46,57	46,08

Jawaban :

1.       Tabel Anova

Komponen Variasi	SS	Db	MS
Between Treatment	0,02401 (SST)	(2 – 1) = 2	0,02401 (MST = )
Wihtin Treatment	1,66904 (SSE)	(5 + 5 – 2) = 8	0,20863 (MSE = )
Total	1,69305

*SST = (46,57)2/⁵ + (46,08)2/⁵ + (46,57+46,08)²/(2)(5) = 0,02401

*SSTotal = (9,14)²/5 + ... + (92,65)²/(2)(5) = 1,69305

*SSE = Sstotal – SST = 1,69305 – 0,02401 = 1,66904

2.       H₀ : µ_A = µ_B dan H_A : µ_A ≠ µ_B

3.       a = 5%

4.       Uji statistik = F_observasi =  =  = 0,11508

db = (5 + 5 – 2)(2 – 1) = 8

5.       Ftabel _5%,db=8  = 5,32

6.       Kesimpulan : karena F observasi < Ftabel, maka terima H₀ ; artinya keuntungan yang diperoleh cabang A dan cabang B sama.